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燕儿凌空的博客

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平面图形的周长和面积【课堂实录】  

2013-05-20 21:48:31|  分类: 引用 |  标签: |举报 |字号 订阅

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通州市实验小学 王俊

一、导入

师:今天的数学课学习什么内容?不错。周长和面积是平面图形的重要内容。瞧,这就是常见的平面图形。都认识吗?真的都认识?到底是我们海门实小的同学,懂得的东西可真多。但是老师要告诉你们一个秘密:看到底下听课的老师没?偷偷地跟你们说一句悄悄话,他们中有人是不认识这些图形的。你看到了谁长得最像不认识的样子?我看到同学们把目光停留在我身上,难道我长得最像不懂的样子?

现在就请你们来做一回小老师,请你在这些图形挑其中一个你喜欢的图形,教一教那些不会的老师这个图形的周长或者面积是怎样计算的。

(生介绍长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形、圆的周长和面积计算方法。)

师:看来,这里的每个图形都是既有周长(板书周长),又有面积(板书面积)的。有关周长和面积的计算公式,大家已经掌握得非常扎实了。但是,从周长和面积的关系来看,它们之间还隐藏着许多的秘密,今天就让我们来深入地研究。

(随感:王老师富有亲和力的谈话,鼓励性的语言,不仅唤醒了学生已有的知识经验,同时拉近了师生之间的距离。)

二、研究

1.示例

(1)示例1

师:看,这是一个圆。别看它很小,但它却一直有一个伟大的梦想:那就是想要去周游世界。但又担心自己因为个头太小滚不太远。于是它学了很多的本领,第二天长成这样了。它又努力地学习。第三天又长成这样了。它变了吗?从数学的角度来看,什么变了?

生:圆的面积变了,周长变了,直径变了,半径变了。

师:也就是圆的面积变了。圆的周长也变了。如果一个圆的周长变了,面积一定也随着变化吗?是不是所有的圆,周长变也面积也一定会变呢?为什么?

生:周长变了,所以直径变了,那么半径变了,面积也就变了。

师:像这种思维方式叫做推理,数学往往是通过严密的推理来思考问题的。

通过推理,我们能确认圆的周长变,面积也一定会变。(板书:变—— 一定变)

师:圆的周长和面积的确有着密切的联系。有人就曾借助它们之间的关系来阐释人生的哲理。瞧,这是古希腊哲学家芝诺,一天,他的学生对芝诺提出这样一个问题:“老师,您已经非常有学问了,为什么还要学习呢?”芝诺随手画了一大一小两个圆圈,回答说:“大圆的面积是我的知识,小圆的面积是你们的知识。显然,我的知识比你们多。但是,这两个圆的外面就是我们无知的部分。大圆的周长比小圆长。那么大圆与无知部分接触的边缘就多。这就是我要不断学习的原因。”同学们,你们在学习时候,有没有体验到知识越多困惑越多呢?

(生表示赞同。)

或许通过下面的学习,你就会有这样的体验了。

(2)示例2

师:这是一个三角形,它也有一个美好的梦想:就是每天都想拥有一个不同的自己,让自己的生命变得更加。瞧,这是它第一天的样子,这是它第二天的样子,它变了吗?

生:变了。

师:对,它的周长跟三条边的长短有关。既然三条边都变短了。周长也就变少了。面积变吗?又是怎么知道的?

师:这是它第三天,变了吗?什么变了,什么没变?

生:周长变了,但面积没有变。。 

师:你发现,三角形的周长变,面积有可能怎么样?

生:三角形的周长变,面积可能变,可能不变。(板书“变,可能变”)

师:看来,图形与图形的特点还真不一样。圆的周长变,面积也一定要变。

三角形的周长变,面积却有可能保持不变。(摆板子)

2.提问

师:那么,我们学过的其他图形又会怎样呢?当它们的周长变化的时候,它们的面积究竟是一定会变还是可能不变呢?

下面我们就采用小组合作的方法来研究这些问题,每个小组可以选择一个或几个图形进行研究。请同一小组的四个同学迅速商量一下,你们小组准备研究哪些图形?

3.研究

(1)准备

生汇报研究的对象。

师:没准儿最冷门的研究课题最容易出成果。我还看到有的小组举了两次手,准备研究好几个图形。这样,如果时间允许,我们就多研究几个。

研究的对象明确了,我们还要有研究的方法。你们准备采用什么方法来研究这些图形呢?

生:推理、画图、举例

师:其实,我们刚才研究圆和三角形的时候,就用到了推理法和作图法。(回放。)研究时还需要做记录。瞧,这是研究报告单,我们在研究的时候可以把研究方法和结论记录在上面。为了方便大家研究,报告单还提供了研究所需的图形和方格纸。好,请小组长领取研究报告单,研究正式开始。

生小组合作进行研究。

(2)汇报

1.长方形

师:你们是怎么研究的?

生:举例,画图。

师:同意他们的结论吗?如果我们同意就一致鼓掌通过。

科学研究中常常会出现殊途同归的现象。也就是通过不同的研究方法得出相同的结论,那么这样的研究结论就显得更加可信可靠。

2.正方形

研究方法(推理)。小结:正方形如果周长变,面积也会变。

3.平行四边形   

4.梯形

师:这是我们研究结论的汇总表。看到这张汇总表,你会产生新的疑问吗?好,带着这样的疑问,在今后的学习中慢慢琢磨。

(随感:著名数学家波利亚认为,“学习任何知识的最佳途径都是由自己去发现,因为这种发现理解最深刻,也最容易掌握其中的内在规律、性质和联系”。这一环节的学习充满了观察、操作、实验、推理、归纳等探索性与挑战性活动。“众人拾柴火焰高”,通过小组合作探究,自主归纳出当各平面图形的周长发生变化的时候,它们的面积是一定变还是可能不变。)

三、综合           

师:刚才我们研究了同一种图形的周长和面积的变化关系。那么,如果我们把六种图形集中在一起,又有哪些发现呢?要研究这个问题,咱们还要先要听一则故事:

从前,有一个老人。他有六个儿子。一天,他把六个儿子叫到跟前说:“孩子们,我已经老了。我没有多少家产留给你们,只有院子里还有一块地,就分给你们吧。”说着,老人拿出六根绳子,“你们每人拿一根绳子到园子里去圈地,谁圈到多大一块地,这块地就属于谁的。你们圈剩下来的地就还留给我种吧。”六个儿子一听,赶忙拿着绳子往园子里跑。想不想看看这六个儿子到底围成了一块怎样的地?仔细看,你有什么发现?

生:这6个儿子围成的地的周长相等,但面积不相等。

师:六个儿子,每人拿到绳子都是同样长的。都是120米。看来他们的父亲很公正,都给了他们同样长的绳子,对谁都没有偏心。大家在面积方面有什么发现呢?

生:圆的面积最大,正方形第二。

师:如果你老人的儿子,你会围成什么图形呢?来,让我们一起喊出你心中的答案。

生:圆形。

师:瞧瞧,这就是真实的人性啊!孩子们,在一定的条件下,我们每个人都会为自己追求最多的利益。这本身没有错。但是如果我们回过头来重新读一读故事,也许你的选择会有所改变。(回放)

师:我们想象一下,如果六个儿子都圈成了圆形。这时,你会更改你的选择吗?你为什么要选择正方形?你是一个既善待自己,又体谅他人的人。

师:同学们,学数学就是要让我们从不同的角度去思考问题。如果知道圆的面积最大,那么你就拥有了聪明。如果你明知圆最大,但是却选择正方形,那么,你就在聪明的基础上还拥有了善良。聪明加善良就等于智慧。

四、拓展

师:说到智慧,大自然是最伟大的数学家。自然界中有许多现象值得我们好好品味,看看这是什么?

生:蜂窝。

师:这是蜂窝整体的横切平面图,这是蜂窝局部横切平面图。看到这些蜂窝,你想提出哪些问题?

生:为什么蜂窝的外形是圆的?

生:为什么一个个小蜂巢不是圆的?

生:为什么不是正三角形?正方形?而是正六边形?

师:这只蜜蜂说我的房间要做成圆形的。那只蜜蜂说我也要把我的房间做成圆形,你们猜结果?早在公元四世纪就有数学家(佩波斯)发现:正六边形的蜂窝,面积最大,而周长最小。是蜜蜂采用最少量的蜂蜡建成的,这一发现被称为“蜂窝猜想”。你能证明这个猜想吗?孩子,你的勇气很可嘉,但是我要告诉你。这是世界四大猜想之一。这个猜想历数学家经历1600多年,直到上世纪末才最终有数学家宣称自己已经证明它。老师也不会证明。你终于体会到了芝诺所说的话:那样懂得得越多,困惑就越多。

蜜蜂之所以能在亿万年的进化历程中生生不息,是因为他们善于在不同的情况下用最小的周长去创造出最大的面积。看来,早在亿万年以前,蜜蜂就懂得低碳生活了,就懂得构建和谐社会了。而我们人类至今还在无休止的欲望和争斗中挣扎。其实,面对我们所生活的环境,我们每一个人手中都有着一根无形的绳子,我们究竟用怎样的周长围出最适合自己的面积,这将是一个永远都研究不尽的课题。

(随感:正如张校长在沙龙中所说的,本节课与其说是实践活动课,不如说是哲学课。在课堂中,王老师向我们传递了很多哲学的思想、哲学的思考。哲学是上位于数学的思考,哲学是一切理论的母亲。由“绳子圈地”如果每人都画个圆,那么周围有空隙会造成很大的浪费而联系到人类,在今天,地球已经被我们肆意破坏得不成样子的时候,我们有没有想到,我们人类和植物动物怎么活命呢?我想这样的课堂一定能给予孩子很大的触动,积淀求真求善的人文素养。)

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